Programa para calcular matriz de rigidez

matriz de rigidez global en el análisis estructural

En principio, el cálculo con RF-FORM-FINDING tiene los mismos requisitos que el cálculo sin este módulo adicional, por lo que se deben comprobar los criterios de inestabilidad general (ver Enlaces).Sin embargo, a menudo se producen problemas con RF-FORM-FINDING porque el proceso de búsqueda de forma se ha activado para demasiados elementos. Por lo tanto, debería comprobar si se han activado los elementos correctos (necesarios) (ver Figura 01).En el siguiente ejemplo de la Figura 02, la búsqueda de forma se ha activado para todas las barras horizontales. Esto resulta en el error “¡La matriz de rigidez es singular!” (ver Figura 03). Si se desactivan las barras de la viga, el cálculo es correcto (ver Figura 04).

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En el método de los elementos finitos para la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales elípticas, la matriz de rigidez representa el sistema de ecuaciones lineales que hay que resolver para conocer una solución aproximada de la ecuación diferencial.
En este caso, la ecuación diferencial elíptica es una ecuación lineal en un dominio Ω, sujeta a la condición de contorno u = 0 en la frontera de Ω. Para discretizar esta ecuación por el método de los elementos finitos, se elige un conjunto de funciones base {φ1, …, φn} definidas en Ω que también desaparecen en la frontera. Entonces se aproxima
{int _{Omega }varphi _{i}cdot f,dx=-int _{Omega }varphi _{i}nabla ^{2}u^{h},dx=-sum _{j}left(int _{Omega }varphi _{i}nabla ^{2}varphi _{j}, }
Los coeficientes ui están determinados por el sistema lineal Au = F. La matriz de rigidez es simétrica, es decir, Aij = Aji, por lo que todos sus valores propios son reales. Además, es una matriz estrictamente definida positiva, por lo que el sistema Au = F siempre tiene una solución única. (Para otros problemas, estas buenas propiedades se perderán).

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En nuestro método, las matrices de rigidez no lineales se derivan utilizando las deformaciones de Green-Lagrange (grandes deformaciones), que a su vez se derivan directamente de las deformaciones infinitesimales (pequeñas deformaciones), añadiendo los términos no lineales descartados en la teoría de las deformaciones infinitesimales. El MEF no lineal propuesto utiliza el marco del MEF lineal, pero no requiere el uso explícito de funciones de peso y ecuaciones diferenciales. Por lo tanto, la integración numérica no es necesaria para la solución del MEF no lineal propuesto. En lugar de utilizar funciones de peso e integrales, utilizamos gradientes de desplazamiento y deformaciones para hacer que las matrices de rigidez elementales sean independientes del espacio con el fin de descartar la integral. Extendemos el MEF lineal al MEF no lineal extendiendo las deformaciones lineales a las de Green-Lagrange.Construimos nuestro MEF lineal extendiendo el MEF lineal 2D de Logan a 3D [2]. Para entender las deformaciones de Green-Lagrange, primero debemos ver en qué se diferencian de las deformaciones infinitesimales utilizadas para calcular las matrices de rigidez global en un MEF lineal. La figura 1 muestra un elemento 2D antes y después de la deformación, donde el borde del elemento con longitud inicial se convierte en . La deformación normal de ingeniería se calcula como el cambio en la longitud de la línea

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Aunque existen varios métodos de elementos finitos, aquí analizamos el método de la rigidez directa, ya que es un buen punto de partida para entender la formulación de elementos finitos. Consideramos primero el elemento más simple posible – un resorte elástico de una dimensión que puede acomodar sólo fuerzas de tracción y compresión. Para el sistema de muelles mostrado, aceptamos las siguientes condiciones:
La ecuación de rigidez del muelle relaciona los desplazamientos nodales con las fuerzas aplicadas a través de la rigidez del muelle (elemento). El signo menos denota que la fuerza es restauradora, pero a partir de aquí utilizamos la versión escalar de la Ecn.7.
N – Izquierda[ {begin{array}{*{20}{c}{k^e}}&{{{k^e}}}{{k^e}}&{{k^e}}{punto final{array}} right]left{ {begin{array}{*{20}{c}}{{u_i}}\{{u_j}}end{array}} N – derecha = N – izquierda {{comienza} {{c}} {F_i^{izquierda( e{derecha)}} {{F_j^{izquierda( e{derecha)}} { {final{array}} N – derecha} ;;;;;(10) ]
Donde Κ(e) es la matriz de rigidez del elemento, u(e) el vector de desplazamiento nodal y F(e) el vector de fuerza nodal. (La relación de rigidez del elemento es importante porque puede utilizarse como bloque de construcción para sistemas más complejos. Más adelante se ofrece un ejemplo de ello).